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1.6 Aktien
Aktien sind Beteiligungen am Grundkapital einer Firma. Fast alle großen Firmen sind Akti- engesellschaften (AGs). Aktionäre haben ein Mitspracherecht (Hauptversammlung) und ein Recht auf Gewinnbeteiligung (Dividende).
Eine AG hat drei wichtige Gremien:
• Vorstand (leitet die Geschäfte),
• Aufsichtsrat (überwacht den Vorstand),
• Hauptversammlung (Versammlung der Aktionäre).
Aktien werden an Börsen gehandelt. Weltweit führend ist die New York Stock Exchange (NYSE) in der Wallstreet in Manhattan. Größte Börse in Deutschland ist die Frankfurter Wertpapierbörse (FWB). NYSE und FWB sind Präsenzbörsen. Zunehmende Bedeutung haben Computerbörsen, z.B. die XETRA (Exchange Electronic Trading), wo Kauf- und Ver- kaufaufträge (sog. Orders) elektronisch abgewickelt werden. Kauf- und Verkaufaufträge kön- nen mit Kursgrenzen versehen werden, d.h. limitiert werden.
Empfehlenswert: www.nyse.com, www.deutsche-boerse.com.
Kursermittlung an der FWB: Umsatzstarke Aktien werden im fortlaufenden Handel geführt. Kurse werden dabei je nach Auftragslage zum nächstmöglichen Zeitpunkt festgestellt, sobald ein Geschäft zustande kommt, d.h. Angebot und Nachfrage sich entsprechen (variabler Kurs). Nur Aktien im fortlaufenden Handel können in einen Index (z.B. DAX, MDAX,...) auf- genommen werden. Aktien, die aufgrund des geringen Handelsvolumens nicht zum fortlau- fenden Handel zugelassen sind, werden zum Einheitskurs (oder Kassakurs) gehandelt. Dazu werden alle Orders, die bis Annahmeschluss vorliegen, gesammelt, und der Einheits- kurs anhand des Meistausführungsprinzips ermittelt. Dieses besagt, dass der größtmög-

liche Umsatz bei gegebener Auftragslage zustande kommen muss, wobei alle „bestens“ und „billigst“ limitierten Orders ausgeführt werden müssen.
Kurs/ Limit
Verkaufaufträge
Kaufaufträge
Anzahl der realisierten Aufträge
Stück je Limit
Stück ku- muliert
Stück je Limit
Stück ku- muliert
1
bestens
100
100
--
--
0
2
200
10
110
30
260
110
3
202
0
110
10
230
110
4
205
25
135
20
220
135
5
206
0
135
10
200
135
6
208
0
135
10
190
135
7
210
20
155
40
180
155
8
215
25
180
30
140
140
9
217
12
192
0
110
110
10
219
10
202
0
110
110
11
220
50
252
10
110
110
12
billigst
--
--
100
100
0
Der Kursverlauf einer Aktie im Zeitablauf ist zufällig. Er kann in Form einer Zeitreihe darge- stellt werden. Wir werden in dieser Vorlesung die mathematische Modellierung von zufälligen Aktienkursen mit den Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung studieren.
Ende 2000 notierte die Daimler Chrysler Aktie bei 45 €. Mitte Juli 2001 erreichte sie den Jahreshöchststand von 57,50 €. Mitte September 2001 erreichte sie in Folge des Terroranschlages auf das World Trade Center in New York den Jahrestiefststand von 31 €. Bis Ende November 2001 erholte sich der Kurs wieder auf 47 €.

Wenn man die Kurszeitreihe einer Aktie untersucht, interessiert man sich zunächst für die Kursveränderungen (täglich, wöchentlich, monatlich,...). Dazu definiert man den Begriff der einfachen Rendite und der logarithmischen Rendite – diese dürfen nicht mit der Rendite einer Anleihe aus Abschnitt 1.5 verwechselt werden!
Im Folgenden bezeichnet stets St den Kurs einer Aktie zu einem Zeitpunkt t. Dabei gilt t≥0, und t=0 bezeichnet den aktuellen (heutigen) Zeitpunkt.
Definition 1.13
Die einfache Rendite einer Aktie zwischen zwei Zeitpunkten t1 und t2 (t2 > t1) ist
St2 −St1. St1
Die logarithmische Rendite einer Aktie zwischen zwei Zeitpunkten t1 und t2 ist
S ln t2 .
S
t 1

Beispiel 1.14
Wer am 29.12.2000 die Daimler-Chrysler Aktie kaufte, zahlte 45,20€ (Schlusskurs). Ein Ver- kauf am 05.01.01 brachte 46,60€. Somit wurde ein Kursgewinn von 1,40€ erzielt.
Die einfache Rendite ist in diesem Fall
− 2,50€ = − 5,4%. 46,60€
1,40€ 45,20€
= 3,1%.
Bei einem Kauf am 05.01.01 zu 46,60€ und Verkauf am 12.01.01 zu 44,10€ ist die einfache
Rendite
Die logarithmische Rendite ist
 46,60€  ln 45,20€  =
 44,10€  3,05% bzw. ln 46,60€  =
− 5,5%.
Renditen beziehen sich immer auf einen Zeitraum (einen Tag, eine Woche, einen Monat, ein
Jahr....).
In Beispiel 1.14 stimmen die einfache Rendite und die logarithmische Rendite nahezu über- ein. Wie ist das zu erklären?
 Prof. Dr. Stefan Reitz 22
Aus der Taylor-Entwicklung der Funktion ln(x) wissen wir, dass für alle x ≈ 1 gilt
ln(x) ≈ x −1. Wir setzen nun x := St2 und erhalten im Fall St2 ≈ 1 (wenn sich der Aktien-
t1
St1
kurs zwischen t1 und t2 nur wenig verändert), dass gilt:
St1
S S S−S
logarithmische Rendite = ln t2  = ln(x) ≈ x −1 = t2 − 1 = t2
 St St St
= einfache Rendite. Die logarithmische Rendite ist also eine Approximation der einfachen Rendite.
1

11
Wir halten fest: Die logarithmische Rendite beschreibt näherungsweise die prozentuale Ak- tienkursänderung. Es zeigt sich, dass man mit der logarithmischen Rendite besser rech- nen kann als mit der einfachen Rendite – daher wird sie im Rahmen der finanzmathemati- schen Modellierung von Kursen bevorzugt.
Bei gegebenem Kurs St1 und gegebener Rendite für die Zeitpunkte t1 und t2 lässt sich der Kurs St2 ausrechnen, denn es gilt
• Im Fall der einfachen Rendite: St2 = St1 ⋅ (1+ einfache Rendite),
• Im Fall der logarithmischen Rendite S = S ⋅elogarithmische Rendite .
t2 t1
Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über das Verhalten von einfacher und logarithmi- scher Rendite bei verschiedenen Kursentwicklungen einer Aktie:
Fazit: Zur Modellierung von Aktienkursen genügt es, sich mit der Modellierung von einfachen oder logarithmischen Renditen zu beschäftigen.

Kursverhältnis
St2 St1
einfache Rendite St2 −1
St1
logarithmische Rendite S
ln t 2 
St
1

0.00
-100% (= -1)
−∞
0.10
-90%
-2.300
0.50
-50%
-0.693
0.90
-10%
-0.105
0.95
-5%
-0.051
1.00
0%
0.000
1.05
5%
0.049
1.10
10%
0.095
1.50
50%
0.405
2.00
100%
0.693
5.00
400%
1.609
10.00
900% (= 9)
2.303
∞
∞
∞
Es gilt stets −100% ≤ einfache Rendite < ∞. Einfache Renditen sind asymmetrisch: eine Kurshalbierung (einfache Rendite = – 50%) wird durch eine einfache Rendite von +100%
(Kursverdoppelung) ausgeglichen.
Es gilt − ∞ < logarithmische Rendite < ∞ . Logarithmische Renditen sind symmetrisch: eine Kurshalbierung (logarithmische Rendite = -0,693) wird durch eine logarithmische Rendite von
+0,693 (Kursverdoppelung) ausgeglichen.
Der entscheidende Vorteil logarithmischer Renditen gegenüber einfachen Renditen besteht darin, dass logarithmische Renditen über mehrere aufeinander folgende, nicht überlappende Zeitintervalle additiv sind, denn es gilt:
S S S S S ln t1 +ln t2 +ln t3 +K+ln tn =ln(Stn )−ln(St0 )=ln tn .
St
Die Summe der logarithmischen Renditen über die Zeitintervalle [t0; t1], [t1; t2], ... , [tn-1; tn] ist also gerade gleich der logarithmischen Rendite für das Intervall [t0; tn]. Dies gilt nicht für ein- fache Renditen.
St St St St
Dann gilt

24
0

1

2

n−1

0

Beispiel 1.15
Wir betrachten die Kurszeitreihe
St1 = 100,
St2 = 50,
St3 = 100.
S S S
ln t2 =ln(0.5)=−0.693, ln t3 =ln(2)=0.693 und ln t3 =ln(1)=0,
St
Für die einfachen Renditen erhalten wir
St2 −St1 =−0.5, St3 −St2 = 1, aber St3 −St1 = 0 ≠ 1−0.5. St1 St2 St1
Im Folgenden werden wir die Bezeichnung „Rendite“ abkürzend für „logarithmische Rendite“ verwenden.
Allgemein gilt: St2 = α ⋅ St1 ⇔ logarithm.Rendite = ln(St2 / St1 ) = ln(α ).
Beispiel 1.16
Der Kurs einer Aktie (oder irgendeines anderen Finanzinstruments, z.B. auch einer Anleihe) habe zum Zeitpunkt t0 den Wert St0 . Nun verändert sich der Kurs von t0 bis t1 um den Pro-
zentsatz α1, von t1 bis t2 um den Prozentsatz α2,..., von tn-1 bis tn um den Prozentsatz αn. Wie ist der Kurs in tn?
Offenbar gilt:
Stn =St0 ⋅(1+α1)⋅(1+α2)⋅K⋅(1+αn).
 St 1
 S S S
St
1
also ln t3 =ln t3 +ln t2 . S S S



2
ttt
1

2

1

25
2. Modellierung von Aktien
2.1 Häufigkeitsverteilung der Renditen
Zur Modellierung einer Aktienkurszeitreihe mit Aktienkursen St geht man zunächst von der Historie aus, und schaut sich an, welche typischen Eigenschaften Aktienkurse haben.
Aus einer gegebenen Kurszeitreihe, z.B. 250 Schlusskursen (entspricht ungefähr einem Jahr) an der Frankfurter Börse von einer beliebig gewählten Aktie bildet man die 249 tägli- chen (logarithmischen) Renditen
S S S S
x :=ln −248 ,x −248   −247
:=ln −247 ,x
  −246
:=ln −246 ,..., x :=ln 0 .   0  
S−249 
S−248 
S−247  S−1 
Hierbei zählt der Index am Aktienkurs jeweils den Tag, ausgehend vom ersten Tag j = -249. Der heutige (aktuelle) Tag hat dabei den Index j = 0. Das negative Vorzeichen im Index deu- tet an, dass es sich um vergangene Kurse handelt.
Wir wollen die Werte xj als beobachtete Stichprobenwerte im Sinne der Statistik auffas- sen und fragen uns nach der Häufigkeitsverteilung dieser Werte. Dazu kann man etwa ein Histogramm der beobachteten Werte anfertigen, bei dem der Anteil der Stichprobenwerte, die in einem bestimmten Bereich liegen, proportional zur Fläche eines Rechteckes über die- sem Bereich ist. Im Falle von Aktienkursrenditen hat ein solches Histogramm typischerweise das folgende Aussehen:
Rendite x-j
Histogramm der Renditen einer Aktie
Führt man eine solche Analyse für mehrere verschiedene Aktien durch, so zeigt sich, dass das resultierende Histogramm stets (mehr oder weniger) die gleiche Form hat wie das oben dargestellte. Wir werden später sehen, dass sich die Häufigkeitsverteilung der Renditen gut durch die sog. Normalverteilung modellieren lässt.

jetzt den 17. tag daxen-impuls! hammer! der längste impuls (mit 13 handelstagen) der letzten zeit lief im april diesen jahres! geduld wird mal wieder arg strapaziert, aber ohne ein neues ath wirds vorerst leider noch nix mit ner abc-korrektur! *g*  

JPMorgan erhöht Kursziel für Volkswagen
von Thomas Gansneder
Freitag 01.11.2013, 08:31 Uhr
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JPMorgan erhöht Kursziel für Volkswagen von €214 auf €220. Overweight

Citigroup stuft Volkswagen hoch
von Thomas Gansneder
Donnerstag 31.10.2013, 08:17 Uhr
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Citigroup stuft Volkswagen (Stammaktie) von Neutral auf Buy hoch und erhöht Kursziel von €150 auf €224.

Kleiner Absacker von VW und die 9000 fällt

werde mal 2 TurbocallOE mit Basis 9000 kaufen, dann ist Sentiment bestimmt wieder bei +50

σˆ5Tage ≈ 5⋅σˆ1Tag. Allgemein können wir den folgenden Satz formulieren:
Satz 2.4
Sind μˆ1 , μˆ 2 die arithmetischen Mittel einer logarithmischen Aktienrendite für Zeiträume der Länge T1 bzw. T2 und sind σˆ1 , σˆ 2 die entsprechenden empirischen Standardabweichungen, und gilt T2/T1∈IN, so folgt
μˆ = T 2 ⋅ μˆ 2T1
1
und, falls die Korrelation der Renditen 0 ist,
σˆ2 ≈ T2 /T1 ⋅σˆ1.
Beweis: Es sei T2/T1 = k ∈ IN, und es seien x1, ..., xm die Werte von m Renditen der Aktie für m nicht überlappende Zeiträume, deren Länge jeweils T2 sei. Wegen T2 = k⋅T1 ist jeder die- ser (logarithmischen) Renditen die Summe von k Renditen für Zeiträume der Länge T1:
x1 =y1+...+yk,  x2 = yk+1 +...+y2k. 
M
(*) j ( j−1)⋅k+1 j⋅k 
 x =y +...+y ,
M  x =y +...+y .
m (m−1)⋅k+1 m⋅k  Hierbei ist jeweils yl eine Rendite für einen Zeitraum der Länge T1.

Nun gilt
1 m 1 m 1 m⋅k
μˆ2 =m⋅∑xj =m⋅∑(y(j−1)⋅k+1+...+yj⋅k)=m⋅∑yj
( j−1)⋅2+1
m−1 j=1
( j−1)⋅2+1
≈0, falls Korrelation = 0
j=1 (*) j=1 j=1 1 ∑m⋅k
=k⋅m⋅k⋅ yj =k⋅μˆ1 =(T2/T1)⋅μˆ1. j=1
142443
= μˆ 1
Um die zweite Aussage zu beweisen, nehmen wir T2 = 2⋅T1, also T2/T1 = 2 an (der allgemei- ne Fall geht analog). Es gilt für die Varianz der Rendite bzgl. eines Zeitraumes der Länge T2:
σˆ2= 2
= =
1 ∑m 1 ∑m
⋅ (x−μˆ)2= ⋅ (y
+y −2⋅μˆ)2
1 ∑m ⋅
− μˆ ) + ( y 1
{ ( j−1)⋅2+1
j⋅2
1
m−1 j 2 m−1 j=1 =2⋅μˆ1
j=1
− μˆ ) ) 2
m−1 j=1 1 ∑m
( j−1)⋅2+1
j⋅2
1
− μˆ ) 2 ) + 1
⋅ m−1 j=1
− μˆ ) 2 + ( y
1 j⋅2
2 ∑m ⋅
− μˆ ) ⋅ ( y
1 j⋅2
− μˆ ) 1
( ( y
( ( y
1 ∑2⋅m
( y 1444444244444443
≈2⋅
⋅ (y−μˆ)2, j1
2⋅m−1 14444244443
j=1 ≈ σˆ 12
also σˆ2 /σˆ1 ≈ 2 = T2 /T1 , was zu beweisen war.
Um Renditekennzahlen für verschiedene Aktien zu vergleichen, müssen sie alle auf einen Zeitraum bezogen sein. Man wählt üblicherweise T = 1 Jahr und spricht von „annualisierten“ Daten. Da ein Jahr ungefähr 250 Geschäftstage hat, gilt für die annualisierte Volatilität gemäß Satz 2.4 die Beziehung
2.4 Random Walks und ein (zu einfaches) Kursmodell
Aktienkurse sind nicht prognostizierbar, sie verlaufen zufällig. Man sagt auch, die Kurse fol- gen einem Random Walk (Irrfahrt).
Der Kursverlauf der Daimler-Chrysler Aktie ist ein typisches Beispiel:
σˆ1Jahr ≈ 250 ⋅σˆ1Tag.

Obwohl der Kurs zufällig ist, kann man die Parameter μˆ und σˆ verwenden, um ein (zu ein- faches) Kursmodell für den künftigen Kursverlauf aufzustellen.
Annahme: Der Kurs steigt oder fällt jeweils von einem Tag zum nächsten um einen gewis- sen Betrag. Steigt der Kurs, so ist die Rendite „typischerweise“ μˆ1Tag + σˆ1Tag , fällt der Kurs,
so ist die Rendite „typischerweise“ μˆ1Tag - σˆ1Tag . Ob der Kurs steigt oder fällt, bleibt jeweils dem Zufall überlassen („Random Walk“). Wir nehmen vereinfachend an, dass der Kurs je-
weils mit Wahrscheinlichkeit 1⁄2 steigt oder fällt.
Wir verwenden zur Illustration für das arithmetische Mittel und die empirische Standardab- weichung der logarithmischen Renditen die folgenden Parameter:
μˆ1Tag = 0, σˆ1Tag =0.01. Am 11.05.2004 war der Kurs bei 35,83€.
1. Zufällige Kurse am 12.05.04:
a. Mit Wahrscheinlichkeit 1⁄2 ist die Rendite auf den Folgetag gemäß unserer o-
bigen Annahme gleich μˆ1Tag + σˆ1Tag ≈ 0.01, also gilt: Neuer Kurs = e0.01 *
35,83 = 36.19 (mit Wahrscheinlichkeit 1⁄2).
b. Mit Wahrscheinlichkeit 1⁄2 ist die Rendite auf den Folgetag gemäß unserer o-
bigen Annahme gleich μˆ1Tag - σˆ1Tag ≈ −0.01, also gilt: Neuer Kurs = e-0.01 * 35,83 = 35.47 (mit Wahrscheinlichkeit 1⁄2).

2. Zufällige Kurse vom 13.05.04: Ausgehend von 36.19:
a. Mit Wahrscheinlichkeit 1⁄2 gilt: neuer Kurs = e0.01 * 36.19 = 36.55.
b. Mit Wahrscheinlichkeit 1⁄2 gilt: neuer Kurs = e-0.01 * 36.19 = 35.83.
Ausgehend von 35.47:
c. Mit Wahrscheinlichkeit 1⁄2 gilt: neuer Kurs = e0.01 * 35.47 = 35.83. d. Mit Wahrscheinlichkeit 1⁄2 gilt: neuer Kurs = e-0.01 * 35.47 = 35.12.
Führt man dies fort, so ergibt sich folgende Baumstruktur: Aktienkurs
11.05.2004
35,83
12.05.2004
36,19
13.05.2004
36,55
35,12
14.05.2004
36,92 36,19
34,77
17.05.2004 37,29 36,55 35,83
34,42 35,19
W ahrschein- lichkeit
0,54 = 0,0625 4 ⋅ 0,54 = 0,25 6 ⋅ 0,54 = 0,375 4 ⋅ 0,54 = 0,25 0,54 = 0,0625
35,47
T atsächlicher
Kurs 35,83 35,54 35,85 35,62
35,83
Vergleichen Sie die tatsächlich beobachteten Kurse in der unteren Zeile mit der Baumstruk- tur. Obwohl unser Kursmodell zu einfach ist, enthält es einen Kurspfad (grau unterlegt), der in der Nähe der tatsächlich beobachteten Kurszeitreihe liegt!
Wir werden das Kursmodell im weiteren Verlauf der Vorlesung zu einem realitätsnahen Mo- dell weiterentwickeln. Um dies zu erreichen, müssen wir uns zunächst darüber Gedanken machen, wie wir die zufällige Entwicklung der Renditen im Zeitablauf vernünftig beschreiben können. In dem obigen Modell hatten wir angenommen, dass die Renditen an jedem Tag nur zwei mögliche Werte annehmen können, jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1⁄2. Das ist nicht be- sonders realistisch. Schauen Sie sich in diesem Zusammenhang noch einmal die Häufig- keitsverteilung der Renditen in Abschnitt 2.1 an. Dort hatten wir festgestellt,
• dass die Renditen jeden Wert zwischen − ∞ und + ∞ annehmen können,
• und dass die Häufigkeitsverteilung der verschiedenen möglichen Werte der Renditen
sich durch ein Histogramm beschreiben lässt, dessen typische Form in der Abbil- dung in 2.1 dargestellt ist.

35,47
35,12
Um also zu einem vernünftigen Kursmodell zu gelangen, müssen wir die zufälligen Werte der Renditen an jedem Tag entsprechend dem erwähnten Histogramm modellieren – denn die- ses Histogramm spiegelt ja die Erfahrung aus der Vergangenheit wider! Das Histogramm lässt sich durch eine sog. Normalverteilung gut approximieren. Die Erfahrung zeigt, dass dies allgemein bei Aktien der Fall ist. Daher beschäftigen wir uns im Folgenden mit den Ei- genschaften der Normalverteilung.

................. an der Wallstreet

Meine Glaskugel scheint zu spinnen.

WGZ-Bank erhöht Kursziel für Volkswagen
von Thomas Gansneder
Donnerstag 31.10.2013, 10:57 Uhr
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- +

WGZ-Bank erhöht Kursziel für Volkswagen von €210 auf €220. Kaufen.

Schnitt 9012

wenns nicht deine Diplomarbeit ist die du cuttest und pastest, dann bitte mit quellenangabe, weil Uhrheberecht.
und es reicht auch ein link.

das sentiment, gebe zu habe 3 gekauft

...

Mit deinem Posting bin ich überfordert, wenn ich diese Formeln anschaue, aber es dürfte einigen so gehen-das ist mein Trost.  

Interessiert kein Mensch.

vorschlag: du verkaufst das h in der uhr und kaufst dafür das r im heberecht :)

schon Buchstaben gehandelt.

fundamentaler... wie kann es sein, dass VW mal so ne Anhebung von 50Euros bekommt...

Denkt mal über die Begriffe Unternehmensbesteuerung, GEWINN, Dividendenrendite, Leitzins... usw... nach...

Bin wieder mal im Hessenländle demnächst... Tschau... kann auch die nächste Zeit tagsüber hier nicht schreiben... Hoffentlich bis zum erreichen des Rentenalters...

Euch noch viel Erfolg... seid etwas vorsichtiger mit euen Äußerungen... es könnte Marktteilnehmer geben, die denen Glauben schenken...

www.finanzen.net/nachricht/zertifikate/...ce-bei-Tesla-2750380

bruch aufwärtstrend ist da, retest einplanen

Grüsse Dich,

Wenn Du GARANTIERT RENDITE haben willst:

Kaufen wenn BLUTBAD...und zwar dann wenn du sogar kurz vor dem Erbrechen stehst... 

Und erst dann wieder Verkaufen wenn alle in GUTER LAUNE sind.

 

Problem wir sind aber nicht alle Glücklich ! Und Blutbad hatten wir auch nich nicht !

Gruss Xpress wartet immer noch !

10 Punkte wieder im Sack

gute 500 €

ich mach jetzt Feierabend da ich heute nach Tirol fahre übers WE.

Euch noch einen guten Tag!
Gruss
Opti

nun denn Long 9015 Stop und TP offen

zieh die steuer ab! *g*

das passt schon nach Steuer ;)

Gruss
Opti