Glückspiel = Mathematik vs. Intuition
Neben Quiz- sind auch Spielshows im Fernsehen sehr beliebt. Mit wenig Aufwand kann man viel Geld gewinnen – wenn man Glück hat. Oder auch nichts – wenn man Pech hat. Aber ist das Pech immer nur Pech, oder spielen die Shows die Mathematik gegen die Kandidaten aus?
Ich gebe Ihnen 100 Euro, wenn Sie doch den roten Umschlag nehmen."
"Ich weiß nicht ..."
"150."
"Hmm."
Eine typische Situation in einer Spielshow: Da hatte sich der Kandidat endlich zum grünen Umschlag durchgerungen, schon kommt der Moderator daher und bietet ihm immer mehr Geld, damit er sich wieder anders entscheidet.
Launige Zockerei oder kühl kalkuliertes Ausnutzen versteckter mathematischer Zusammenhänge? Das kommt ganz auf das Spiel und seinen Ablauf an. Denn tatsächlich sind Varianten denkbar, in denen die reellen Chancen für den Kandidaten völlig anders sind als sie auf den ersten, manchmal sogar auf den zweiten Blick scheinen.
Und in solchen Fällen sind die Shows natürlich klar im Vorteil – sie können den Einsatz genau an die Gewinn- und Verlustwahrscheinlichkeiten anpassen. Anders die Kandidaten: Sie spielen möglicherweise mit mehr Risiko als gut ist, oder weniger als sich eigentlich lohnt.
Von welchen Fällen ist die Rede? Sehen wir uns zwei mögliche Situationen an.
Ein verblüffendes Beispiel ...
In den 90er Jahren des vergangenen Jahrhunderts ging eine kleine Denkaufgabe um die Welt, die eine klassische Spielsituation aufgreift. In Anlehnung an den Moderator der früheren US-Spielshow "Let's make a deal" wurde sie das Monty-Hall-Problem genannt – bei uns allerdings besser bekannt als das Ziegenproblem. Worum geht es?
Wir befinden uns in einer Gewinnshow und sollen uns zwischen drei Toren entscheiden – hinter einem befindet sich der Hauptgewinn, hinter den anderen beiden stehen die berühmten Ziegen. Nach einigem Zögern wählen wir das Tor 1. Doch damit sind wir noch nicht fertig – sondern jetzt geht es erst los.
"Prima", hören wir den Moderator sagen. "Dann zeige ich Ihnen mal was." Und mit diesen Worten öffnet er Tor 3, hinter dem eine Ziege zum Vorschein kommt. "Sie dürfen sich jetzt noch einmal entscheiden. Bleiben Sie bei Tor 1 oder möchten Sie zu Tor 2 wechseln?"
Zwei Tore, also die klassische 50:50-Chance? So scheint es, und die meisten bleiben unter solchen Voraussetzungen bei der ersten Wahl. Wenn es egal ist – warum dann wechseln? Aber es ist eben nicht egal. Denn: Bei einem Wechsel ist die Chance auf den Gewinn sage und schreibe doppelt so groß.
Auf den ersten Blick kaum zu glauben, auf den zweiten völlig logisch. Sehen wir uns die Erklärung an.
... und die Auflösung
Die Erklärung dieses auf den ersten Blick sehr erstaunlichen Phänomens ist im Grunde sehr einfach. Was vielen von uns – auch renommierten Mathematikern – den Weg zur eigentlich simplen Lösung verstellt (hat), ist unsere Intuition: Zwei Optionen, ein Gewinn – alles andere als die 50:50-Chance scheint uns zunächst absurd.
Und wenn Mathematiker den Leuten dann die Lösung noch mit Hilfe wahrscheinlichkeitstheoretischer Formeln erläutern möchten, werden sie gleich ganz misstrauisch und fürchten, übel hinters Licht geführt zu werden.
Versuchen wir es also ganz anschaulich. Wenn man sich für ein Tor (zum Beispiel Nummer 1) entschieden hat, gibt es genau drei mögliche Situationen (weil der Gewinn ja hinter jedem der drei Tore sein kann):
1.Der Gewinn steht hinter dem gewählten Tor 1. Der Moderator, der ja einen Niete zeigen will, kann sich in diesem Fall eins der anderen Tore zum Öffnen aussuchen – der Kandidat aber sollte natürlich bei seiner Wahl bleiben.
2.Der Gewinn steht hinter Tor 2. Der Moderator muss nun Tor 3 öffnen, denn er darf ja das Auto nicht zeigen, sondern eine Niete. Der Kandidat seinerseits sollte in diesem Fall wechseln.
3.Der Gewinn steht hinter Tor 3. Hier haben wir die gleiche Situation wie zuvor – nur sind Tor 2 und 3 vertauscht. Auch in diesem Fall bringt wechseln den Erfolg.
Daran wird deutlich: In zwei von drei möglichen Fällen ist wechseln besser. Für den Kandidaten, der gerne gewinnen möchte, ist es also das Mittel der Wahl.
Der Witz bei der Sache liegt einfach darin, dass uns der Moderator mit dem Öffnen eines Nietentores eine zusätzliche Information liefert: Zu Beginn haben wir – was jedem einleuchtet – eine Chance von etwa 33 Prozent, das Auto zu erwischen, das bedeutet, es befindet sich zu 66 Prozent hinter einem der beiden anderen Tore – und nun verrät uns der Moderator, hinter welchem davon nicht. Daher konzentrieren sich diese 66 Prozent auf das verbliebene Tor – dort haben wir also gegenüber unseren ersten 33 Prozent nun, nach der Aktion des Moderators, die doppelte Gewinnchance.
Wie aber kann das nun den Spielshows nützen? Wenn ein Wechsel für den Kandidaten die größere Gewinnchance bedeutet, dann würde der Moderator diese Option doch gar nicht anbieten. Wie also sollten sie von diesen mathematischen Zusammenhängen profitieren?
Ganz einfach: Indem sie die Sache umdrehen. Entscheidend ist das Prinzip, und das lässt sich natürlich auch umgekehrt anwenden. Man könnte zum Beispiel eine Variante mit zwei Gewinnen und einer Niete anbieten – der Kandidat würde mit einer größeren Wahrscheinlichkeit zuerst auf einen der Gewinne tippen, und nachdem man den zweiten Preis offen gelegt hat, überredet man ihn – der sich nichts Böses dabei denkt, da er von je gleichen Chancen ausgeht –, zu wechseln. Und das hieße: vom Gewinn zur Niete umzusteigen.
Ein weiteres Beispiel:
(Achtung, Zahlen! Mathe-Allergiker lesen bitte nur bis zur Mitte – oder blättern sofort weiter.)
Das Ziegenproblem ist nicht das einzige Spiel, wo die Wahrscheinlichkeit unsere Intuition zum Narren hält. Schon bei weniger komplexen Situationen ist unsere Einschätzung von Chancen offenbar sehr unzuverlässig.
Stellen Sie sich vor, Sie stehen schon wieder als Kandidat im Fernsehstudio. Der Moderator holt wahllos 25 Menschen aus dem Publikum auf die Bühne und sagt: "Lassen Sie uns ein kleines Spiel machen. Ich setze einen gewissen Betrag darauf, dass niemand dieser Leute am selben Tag Geburtstag hat – Sie können dagegensetzen." Nur um den Tag ginge es (zum Beispiel 1. April), das Jahr spiele keine Rolle.
Sie und der Moderator bekommen also je 500 Euro, die in gewissen Beträgen insgesamt eingesetzt werden können – durch Gleichziehen oder Überbieten. Sollte von beiden alles gesetzt sein, wird aufgelöst – gibt es keine zwei gleichen Geburtstage, bekommt der Moderator das Geld, im anderen Falle Sie. Allerdings darf man zwischendurch auch aussteigen, ähnlich wie beim Pokern. Das bis dahin noch nicht gesetzte Geld darf man dann behalten.
Zwei identische Geburtstage bei nur 25 Menschen – wie hoch würden Sie pokern? Würden Sie nach der Taube auf dem Dach greifen und versuchen, mit viel Einsatz viel zu gewinnen? Oder lieber den Spatz in der Hand behalten – also früh aussteigen und mit dem so verbliebenen Geld nach Hause gehen? Die meisten Kandidaten wären vermutlich nicht bereit, sehr viel Geld gegen den Moderator einzusetzen. Und doch: Die Chance, gegen ihn zu gewinnen, ist viel größer als umgekehrt!
Obwohl man es intuitiv anders einschätzt: Die Wahrscheinlichkeit auf zwei gleiche Geburtstage ist schon bei einer relativ kleinen Gruppe Menschen relativ groß. Das lässt sich leicht ausrechnen. Am leichtesten, indem man die Gegenwahrscheinlichkeit (also die Gewinnchance des Moderators) berechnet, also: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nicht zwei Menschen am selben Tag Geburtstag haben. Und dies dann umkehrt.
Der Reihe nach: Bei einer Zwei-Personen-Gruppe darf – bei unterschiedlichen Geburtstagen – die zweite Person an allen Tagen des Jahres Geburtstag haben – außer an einem: dem Geburtsdatum der anderen Person. Also an 364 von 365 Tagen: Die Chance beträgt 364/365.
Bei drei Personen gilt das für die zweite Person weiterhin; für die dritte gilt: Sie darf an allen Tagen Geburtstag haben – außer an denen, die von den anderen beiden Leuten belegt sind. Also an einem der restlichen 363 Tage. Da die zweite Person immer noch dabei ist, beträgt die Chance auf verschiedene Geburtstage bei drei Leuten:
364/365 x 363/365.* (0,9917, also etwa 99 Prozent.)
Und so weiter. Die Wahrscheinlichkeit, dass 25 Leute an je unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben, beträgt also:
364/365 x 363/365 x 362/365 x ... x 341/365.
Das ergibt 0,4313 (also 43,13 Prozent) dafür, dass keiner am selben Tag Geburtstag hat – und im Umkehrschluss bedeutet das eine Chance von 0,5687, dass zwei Geburtstage identisch sind. Fast 57 Prozent also, gegenüber den nur 43 Prozent Gewinnchance des Moderators.
Intuitiv schätzen wir (sehr viele jedenfalls) das anders ein – unsere tatsächlichen Chancen aber bestimmt die Mathematik.
*) Die Multiplikationsregel für Ereignisse, die voneinander unabhängig sind.
Mathematik - Intuition
Genau da liegt der Vorteil der Spielshows gegenüber den Kandidaten: Letztendlich werden sich die mathematischen Gesetze durchsetzen. Und immer dann, wenn die Intuition der Kandidaten davon abweicht, sind diese also im Nachteil, manchmal deutlich.
Unfaires Spiel? Das kommt immer auf die konkrete Situation an, wie gesagt. Außerdem darauf, wie vorsätzlich und zielgerichtet solche Phänomene ausgenutzt werden.
Interessanter ist vielleicht die Frage, wie solche Diskrepanzen überhaupt zustande kommen: Warum weicht unsere Intuition hinsichtlich gewisser Wahrscheinlichkeiten oft so sehr von den tatsächlichen Gegebenheiten ab?
Das ist deshalb so interessant, weil es kaum geklärt ist. Möglicherweise liegt die Fehlwahrnehmung darin begründet, dass Chancen und Wahrscheinlichkeiten etwas sind, was erst mittel- oder langfristig sichtbar wird.
Unser Verstand hingegen ist eher auf die eine konkrete Situation ausgerichtet. Wir sehen zwei Tore und vermuten spontan: 50:50. Wie es zu dieser Zweier-Auswahl kam und wie sich die Gewinnsituation über 10, 20 Spiele hinweg entwickeln würde rückt in diesem Moment offenbar in den Hintergrund.
Andererseits wird diese These am Roulette-Tisch eindrucksvoll widerlegt: Wenn fünfmal in Folge rot gefallen ist, würden sehr viele (in Befragungen etwa 85%) beim sechsten Mal auf schwarz setzen – weil sich das auf lange Sicht ja irgendwann wieder ausgleichen muss.*
Oder handelt es sich einfach um geschickt verschleierte Einzelfälle? In diese Reihe passt auch die kleine Aufgabe, der man wohl sehr oft beim Zappen begegnet: Was ergibt 20 : ½?
Zehn!, ruft irgendetwas in uns: Teilen bedeutet verkleinern – und ½ ist doch die Hälfte. Verloren: Das Ergebnis ist 40.
Warum? Das finden Sie am besten selbst heraus.
*) Tatsächlich ist beim Wurf selber die Chance auf Schwarz nach tausendmal Rot die gleiche wie nach zweimal. Eine Kugel hat kein Gedächtnis.
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