Für all diejenigen, die das Gefühl des Paradoxen nicht loswerden:
In der absolut reinsten Fassung stellt Gödels Theorem die mathematische Übersetzung einer uralten philosophischen Paradoxie dar "Alle Kreter sind Lügner, sagte Epimenides, der Kreter" oder, einfacher: "Diese Aussage ist falsch".
Gödels Satz lautet:
Zu jeder w-widerspruchsfreien rekursiven Klasse K von Formeln gibt es rekursive Klassenzeichen r, so daß weder vGen r noch neg(vGen r) zu Flg (K) gehört (wobei v die freie Variable aus r ist).
Oder:
Alle widerspruchsfreien axiomatischen Formulierungen der Zahlentheorie enthalten Aussagen, die man nicht entscheiden kann.
Gödel hat gezeigt, daß Beweisbarkeit ein schwächerer Begriff als die Wahrheit ist, unabhängig davon, um welches axiomatische System es sich handelt.
Deutlicher wird dies mit Fermats letztem Satz. Pierre de Fermat, Jurist und Mathematiker aus Berufung, hat, als er über den bekannten Satz a hoch 2 + b hoch 2 gleich c hoch 2 postuliert: a hoch n + b hoch n ungleich c hoch n.
Seit 300 Jahren haben Heerscharen von Mathematikern versucht, diesen Satz zu beweisen oder ihn durch ein Gegenbeispiel zu widerlegen. Vor einigen Jahren schließlich gelang der Beweis (und jetzt kommt der Hammer), und zwar nur deshalb, weil man ein Gegenbeispiel gefunden hatte.
D.h., wir haben den formal korrekten Beweis und gleichzeitig ein Gegenbeispiel.
In der absolut reinsten Fassung stellt Gödels Theorem die mathematische Übersetzung einer uralten philosophischen Paradoxie dar "Alle Kreter sind Lügner, sagte Epimenides, der Kreter" oder, einfacher: "Diese Aussage ist falsch".
Gödels Satz lautet:
Zu jeder w-widerspruchsfreien rekursiven Klasse K von Formeln gibt es rekursive Klassenzeichen r, so daß weder vGen r noch neg(vGen r) zu Flg (K) gehört (wobei v die freie Variable aus r ist).
Oder:
Alle widerspruchsfreien axiomatischen Formulierungen der Zahlentheorie enthalten Aussagen, die man nicht entscheiden kann.
Gödel hat gezeigt, daß Beweisbarkeit ein schwächerer Begriff als die Wahrheit ist, unabhängig davon, um welches axiomatische System es sich handelt.
Deutlicher wird dies mit Fermats letztem Satz. Pierre de Fermat, Jurist und Mathematiker aus Berufung, hat, als er über den bekannten Satz a hoch 2 + b hoch 2 gleich c hoch 2 postuliert: a hoch n + b hoch n ungleich c hoch n.
Seit 300 Jahren haben Heerscharen von Mathematikern versucht, diesen Satz zu beweisen oder ihn durch ein Gegenbeispiel zu widerlegen. Vor einigen Jahren schließlich gelang der Beweis (und jetzt kommt der Hammer), und zwar nur deshalb, weil man ein Gegenbeispiel gefunden hatte.
D.h., wir haben den formal korrekten Beweis und gleichzeitig ein Gegenbeispiel.
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