Black-Scholes-Modell

Das Black-Scholes-Modell ist ein Formelsystem zur Bewertung von Finanzoptionen, das von Fisher Black und Myron Scholes 1973 (nach zweimaliger Ablehnung durch reputierte Zeitschriften) veröffentlicht wurde und als ein Meilenstein der Finanzwissenschaft gilt.

Call und Put leisten somit in t die Zahlungen

CF(t,C) = max(S-K,0) beziehungsweise CF(t,P) = max(K-S,0)

Der Markt erlaubt Geldanlagen und -aufnahmen zum kontinuierlichen Zinssatz r. Für den Diskontierungsfaktor gilt somit

df = e^{( - rT)}

Black und Scholes (1973) haben gezeigt, daß in ihrem Modell unter der Annahme einer konstanten Zins- und Volatilitätsentwicklung, die Option durch ein geeignetes Portfolio aus Basiswert F und Zins r dynamisch dupliziert werden kann - und weiter: Der Faire Preis der Option bestimmt sich als diskontierter Erwartungswert der Auszahlungen in t, wobei der Erwartungswert bezüglich der Lognormalverteilung zu bilden ist (Konzept der risikoneutralen Bewertung)

S(t₀,C) = S₀N(d₁) - Ke^{( - rT)}N(d₂)

Die Mathematik hinter dem Black-Scholes-Modell beruht auf der 1944/46 von Kiyosi Itô begründeten Theorie der stochastischen Differentialgleichungen.

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